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MAPGEO2015 - Model for converting geometric altitudes (given by GNSS) into physical altitudes (compatible with the SGB´s Vertical Datum)


Digital model that provides the factors to convert altitudes given by GNSS receivers, resulting in altitudes compatible with the terrestrial gravity, more suitable to describe the flow of liquid masses, like those needed in large irrigation projects, hydroelectric generation, etc.

In technical terms, a model to convert altitudes numerically describes the separation between the ellipsoid of reference of the geometric altitudes - also called ellipsoidal, resulting from the use of Global Navigation Satellite Systems (GNSS) - and the surface of reference of the physical altitudes, which is the vertical datum of the High-Precision Altimetric Network (RAAP) of the Brazilian Geodetic System (SGB), in the case of Brazil. From the geodetic coordinates resulting from the suitable processing of the observations collected through a geodetic GNSS receiver, the factor to convert geometric altitudes into physical altitudes should be extracted from the model.

The first models to convert altitudes published by the IBGE where the geoid models of the MAPGEO series, produced in partnership with the University of São Paulo (USP). MAPGEO92, MAPGEO2004, MAPGEO2010 and MAPGEO2015. The last one was the basis to develop the most recent model, hgeoHNOR2020, which opens a new series of models characterized by a better adaptation to the altitudes present in RAAP.


Technical Information

As responsible for the Brazilian Geodetic System (SGB), the IBGE publicly releases the geodetic information of reference required for a precise spatial positioning. In the case of the applications involving vertical positioning - like the feasibility studies and implementation works of large hydroelectric endeavors or the activities of prevention and monitoring of coastal floods associated with the rise of the average sea level due to global warmth -, the basic information is the altitude associated with each one of the nearly 70 thousand Level References (RRNN) established by the IBGE since 1945 along the entire national road network.

Such altitudes are tightly coupled with the terrestrial gravity field, assured with the use of specific observation methodologies, associating gravimetric information (either observed or theoretical) with the gaps resulting from the traditional technique of geometric leveling with procedures and instruments specifically designed for high precision. Today, the altitudes obtained that way are generically named physical altitudes. In Brazil, those altitudes were known as orthometric-normal until July 2018, when the new adjustment of the so-called High-Precision Altimetric Network (RAAP) resulted in the so-called normal altitudes, improving the integration in relation to the terrestrial gravity field.

On the other hand, the increasing adoption of positioning solutions via satellite systems led to a higher availability of another type of altitude, completely apart from the gravity field - the geometric altitude. Following up the need to convert those geometric altitudes into orthometric-normal altitudes, the demand for the so-called geoid undulation models stepped up. They represent the separation between the respective surfaces of reference (ellipsoid and geoid), named undulation or, preferably, geoid height. In Brazil, the initial versions of those models looked like geoid maps, produced and assessed from RRNNs matching the first geodetic stations established with spatial techniques - the SAT Doppler stations, resulting from observation of the Transit satellites. Compared with the results currently obtained with positioning systems via satellites, the altitudes obtained from the Transit system had significantly higher uncertainties, reaching several meters. Therefore, the consequences that the physical altitudes of the SGB were not strictly orthometric, but rather orthometric-normal, were insignificant - a proxy of the original concept in the case of unavailability of gravimetric observations in the work region.

With the improvement of the quality of the geometric altitudes obtained by common users, resulting from the evolution of the infrastructure associated with the Global Navigation Satellite Systems (GNSS), the biggest uncertainties in the conversion between altitudes began to be attributed to the geoid undulation model itself, mainly due to the impossibility to reach a dense and homogeneous gravimetric coverage in the entire National Territory and along a reasonable border and coastal line. In addition, the difference between the strict concept of orthometric altitude and its proxy through normal-orthometric altitudes of the SGB´s altimetric network became more significant.

Therefore, the IBGE began to carry out exclusive campaigns of GNSS in RRNNs in 2008, stepping them up from 2015 onwards. As a result, it was possible to recently hit a minimally suitable distribution of the so-called SAT-RN stations to begin the studies related to the improvement of the conversion of altitudes.

Lastly, it should be highlighted that the improvement of the model of conversion of altitudes was also boosted by the release of the new normal altitudes, resulting from the Adjustment of the Altimetric Network with Geo-potential Numbers (REALT-2018). Besides better coupling with the terrestrial gravity field, that new set of altitudes also reflects the effects of an extensive debugging of the gaps of the entire altimetric network. In order to also benefit the GNSS users, a specific model to convert altitudes was required, reinforcing the reasons to develop the hgeoHNOR2020. Details of that development are presented in the respective report.


About the publication - hgeoHNOR2020

The hgeoHNOR2020 model provides the separation between the ellipsoid of reference of the geometric altitudes in SIRGAS2000 and the surfaces of reference of the REALT-2018 implementation of the vertical component of the Brazilian Geodetic System (SGB), i.e., the vertical data of Imbituba and Santana. Therefore, the factor for conversion extracted from the (η) model allows to obtain the modeled normal altitudes (HNmod), compatible with REALT-2018, from geometric altitudes (h) resulting from GNSS measurements in regions where there is no suitable coverage of the High-Precision Altimetric Network (RAAP), i.e., where there are no altimetric stations of the SGB:

HNmod = h - η

It should be highlighted that, in spite of the current physical altitudes of RAAP are of the normal type, their surface of reference cannot be considered equivalent to the global near-geoid, since the values of reference of the vertical data of Imbituba and Santana were maintained.

Likewise, the hgeoHNOR2020 model cannot be considered a gravimetric model of the near-geoid, not only due to the previous particularity, but also due to the fact that conventional methodologies have not been used to model the gravity field. hgeoHNOR2020 was calculated by means of the Least Squares Adjustment (CMQ) from residues of the geoid heights, extracted from MAPGEO2015, in relation to the differences between the normal and geometric altitudes in the SAT-RN stations.

Therefore, the model absorbs all the inherent characteristics of those three information sources, including the different compositions of errors, strategies of treatment of the permanent tide, etc., and cannot be associated with the near-geoid. In addition, possible changes in the position of the stations in the period between the two types of surveying (leveling and GNSS) can affect that type of geometric modeling.

In order to express that difference, the conversion factor η, provided by hgeoHNOR2020, should be considered as the addition of those inherent influences (Δ) to the separation values between the global near-geoid and the ellipsoid (ζ, altitude anomalies): η = ζ + Δ.

The access to the model is made through a calculation service implemented in this portal, streamlining the acquisition of the factors to convert between h and HN and respective uncertainties. The entry data are directly submitted through the keyboard - with the result immediately shown on the screen - or, preferably, through a file containing the list of coordinates. In this case, the results are sent to the electronic address informed, in three types of format (.txt, .csv and .kml). The direct communication with the online service to post-process GNSS data (IBGE-PPP) was also implemented in that calculation service, also available on this portal, allowing the PPP results to remain consistent with the model to convert altitudes.

Only the points located in the National Territory are submitted to the processes to select the relevant grids and interpolate the respective magnitudes through bi-cubic spline. The performance of the calculation service is mainly conditioned by two factors: previous checking of the polygons (national limits, Santana area and MAPGEO2015 west area) and the interpolation itself. For the points within the national limits, the performance is nearly 0.46 ms/point (nearly 130,000 points/min), being 60% of this time consumed in the interpolation.

More on the product - hgeoHNOR2020

The access to the hgeoHNOR2020 model is through the respective online calculation service or through calculation, to be carried out by the users themselves, by including the grids and other information in “downloads”

Learn more - hgeoHNOR2020


As altitudes das Referências de Nível (RRNN) da Rede Altimétrica de Alta Precisão (RAAP) do Sistema Geodésico Brasileiro (SGB) caracterizam-se por sua estreita vinculação ao campo da gravidade terrestre. Atualmente, elas são genericamente denominadas altitudes físicas, conforme notas conceituais introdutórias das novas especificações e normas para levantamentos geodésicos associados ao Sistema Geodésico Brasileiro, mas tradicionalmente eram conhecidas como altitudes ortométricas pela comunidade produtora e usuária de informações geoespaciais.

Por outro lado, a crescente adoção de soluções de posicionamento via sistemas de satélites, por parte daquela comunidade, a partir da consolidação do Global Positioning System (GPS) e do advento dos serviços internacionais de aprimoramento dos respectivos insumos, levou à maior disponibilidade de um outro tipo de altitude, inteiramente desvinculada do campo da gravidade – a altitude geométrica. Acompanhando o aumento da necessidade de conversão dessas altitudes geométricas em altitudes ortométricas, intensificou-se a demanda pelos chamados modelos de ondulação geoidal, que representam a separação entre as respectivas superfícies de referência (elipsoide e geoide), denominada ondulação ou, preferencialmente, altura geoidal. No Brasil, as versões iniciais desses modelos tinham a forma de mapas geoidais, elaborados e avaliados a partir das RRNN coincidentes com as primeiras estações geodésicas estabelecidas com técnicas espaciais – as estações SAT Doppler, resultantes da observação dos satélites Transit. Considerando a qualidade dos resultados obtidos atualmente com os sistemas de posicionamento via satélites, as altitudes derivadas do sistema Transit tinham incerteza significativamente maior, chegando a vários metros. Dessa forma, eram desprezíveis as consequências de que as altitudes físicas do SGB não eram rigorosamente ortométricas, mas sim normais-ortométricas – uma aproximação do conceito original, voltada ao atendimento dos casos de indisponibilidade de observações gravimétricas na região de trabalho (como apresentado na p. 11 do relatório do REALT-2018).

Com o aprimoramento da qualidade das altitudes geométricas obtidas pelo usuário comum, resultante da evolução da infraestrutura associada aos Sistemas Globais de Navegação por Satélites (Global Navigation Satellite Systems, GNSS), as maiores incertezas na conversão entre altitudes passaram a ser atribuídas ao próprio modelo de ondulação geoidal, devido principalmente à impossibilidade de se alcançar uma cobertura gravimétrica densa e homogênea em todo o Território Nacional e ao longo de uma razoável faixa fronteiriça e costeira. Além disso, também assumiu maior significância a diferença entre o conceito rigoroso de altitude ortométrica e sua realização aproximada por meio das altitudes normais-ortométricas da rede altimétrica do SGB, em função destas últimas serem referidas a uma superfície não equipotencial indeterminada, enquanto as primeiras referem-se intrinsecamente ao geoide. Neste caso, a comunidade técnica nacional adotava procedimentos adicionais para detecção e correção da chamada componente sistemática regional do geoide por meio da ocupação de RRNN do SGB (ou vinculadas a ele) na área de trabalho com levantamentos GNSS, aprimorando a consistência da conversão das altitudes geométricas em normais-ortométricas.

A aplicação generalizada de tal estratégia, por parte do próprio IBGE, era impedida pelas dificuldades no estabelecimento de uma adequada distribuição das estações de conexão SAT GNSS nas RRNN do SGB – as chamadas estações SAT-RN. Em 2008, o IBGE iniciou a realização de campanhas exclusivas de GNSS em RRNN, intensificando-as a partir de 2015, com as campanhas de Ocupação GNSS em RRNN (OGR), com o objetivo da realização de medições em RRNN localizadas nos “vazios” geográficos estabelecidos a partir de um raio de 50 km daquelas conexões já existentes. Com isso, foi possível atingir uma distribuição minimamente adequada para o início dos estudos referentes ao aprimoramento da conversão de altitudes, como se observa na seguinte figura:

Por fim, cabe destacar que o aprimoramento do modelo para conversão de altitudes também sofreu impulso decisivo a partir da divulgação das novas altitudes normais, resultantes do Reajustamento da Rede Altimétrica com Números Geopotenciais (REALT-2018). Além da melhor vinculação ao campo da gravidade terrestre, este novo conjunto de altitudes reflete também os efeitos de uma extensa depuração dos desníveis de toda a rede altimétrica. Para que tais melhorias pudessem beneficiar também os usuários dos GNSS, tornava-se necessário um modelo específico para conversão de altitudes, reforçando as justificativas para o desenvolvimento do hgeoHNOR2020.


Atualmente, a tecnologia preferencialmente utilizada para o posicionamento espacial preciso é a dos GNSS. Dependendo do tipo de receptor, do tempo de coleta e da metodologia de cálculo, as coordenadas e altitudes determinadas pelos levantamentos GNSS podem atingir alta precisão, com incertezas de poucos milímetros em relação ao elipsoide de referência, levando à sua adoção em um crescente número de atividades. Apesar disso, no caso específico das altitudes geométricas, sua utilização é bastante restrita, em função da natureza puramente geométrica das mesmas, não refletindo o vínculo intrínseco com o campo da gravidade que o conceito de altitude deve possuir. Em outras palavras, a superfície da água em um lago de grandes dimensões, em repouso, materializa o conceito de superfície horizontal (superfície equipotencial do campo da gravidade), mantendo um valor constante de altitude física, mas suas altitudes geométricas podem apresentar grande variação, em decorrência da já citada desvinculação do elipsoide em relação às superfícies equipotenciais do campo da gravidade terrestre.

No SGB, as altitudes físicas eram tradicionalmente consideradas ortométricas e obtidas por meio do nivelamento geométrico de alta precisão, com referência a um datum vertical materializado a partir do nível médio do mar, considerado uma adequada aproximação do geoide pela metodologia clássica da época de início da atividade pelo IBGE. As condições necessárias para sua caracterização como ortométricas incluíam, ainda, a existência de informação gravimétrica associada às estações de nivelamento. Como os trabalhos de densificação gravimétrica do IBGE tiveram início apenas na década de 1980, com foco nos “vazios gravimétricos” do Território Nacional, grande parte da Rede Altimétrica do SGB, iniciada em 1945, não possuía gravimetria associada às suas RRNN. Tal dificuldade era minimizada com a utilização da gravidade teórica, também denominada gravidade normal, no cálculo da chamada correção ortométrica-normal para cada seção de nivelamento entre RRNN sucessivas.

A tipologia das altitudes das RRNN do SGB mudou pela primeira vez em 2018, após o REALT-2018, quando elas foram calculadas com correções derivadas da utilização da gravidade real observada mediante levantamentos gravimétricos diretamente nas RRNN ou em suas imediações – em contraste com a gravidade teórica, utilizada nos ajustamentos anteriores. A utilização desse novo tipo de correção segue recomendações internacionais, e resulta nas chamadas altitudes normais. Com isso, tornou-se necessário atualizar também a ferramenta para conversão das altitudes geométricas resultantes de levantamentos GNSS, de modo que as altitudes físicas resultantes sejam compatíveis com a nova realização da componente vertical do SGB, isto é, com as altitudes normais calculadas no REALT-2018.

Cálculo do modelo

Foram utilizadas as altitudes normais (HN) oriundas do REALT-2018 e as altitudes geométricas (h) referidas ao SIRGAS2000, bem como as alturas geoidais (N) extraídas do MAPGEO2015, de 1344 estações SAT-RN, para o cálculo dos resíduos iniciais εo :

Foi aplicado o procedimento recomendado por Forsberg e Tscherning (2008, “An overview manual for the GRAVSOFT Geodetic Gravity Field Modelling Programs”) e já utilizado em outros países: aplicação da Colocação por Mínimos Quadrados (CMQ) a partir dos resíduos pontuais εo para o cálculo da grade regular de correções ω a ser adicionada à grade do modelo usado como base, além da respectiva grade de desvio padrão σω. No âmbito desse procedimento, a correção calculada para cada ponto da grade reflete as características dos resíduos das estações no seu entorno, levando à existência de resíduos não nulos em cada estação SAT-RN individual:

Para a aplicação da CMQ, foi utilizado o programa GEOGRID, do pacote GRAVSOFT, e o MAPGEO2015 como modelo-base. Foi implementada uma rotina específica para a adição das grades (N+ω=η), o recálculo e análise estatística dos resíduos, e a repetição de todo o processo após a eventual rejeição de uma ou mais estações.

A rejeição de estações tem como base a comparação entre os resíduos pontuais recalculados (ε) e as respectivas estimativas de incerteza extraídas da grade de desvio padrão das correções. São rejeitadas as estações cujos resíduos recalculados ultrapassam o limite usual – o triplo do desvio padrão da respectiva correção (σω). Em caso de rejeição, repete-se o processo de cálculo.

Tendo como principal insumo as estações SAT-RN do SGB, o hgeoHNOR2020 perde confiabilidade com o aumento da distância em relação às mesmas. Assim, no extremo oeste do País, área significativamente afastada das estações da RAAP, optou-se por manter os valores do MAPGEO2015. Para tanto, as grades de correções e incertezas referentes a Imbituba são truncadas nessa região, conforme figuras seguintes.

Por fim, as grades de correções referentes a Imbituba e Santana são adicionadas à grade do MAPGEO2015, resultando nas grades de fatores para conversão η que constituem, juntamente com as respectivas grades de incertezas, o modelo para conversão hgeoHNOR2020 (figuras seguintes). Mais detalhes sobre o desenvolvimento do modelo são mostrados no relatório.

hgeoHNOR2020: curvas de isovalores do fator para conversão de altitudes geométricas em normais

hgeoHNOR2020: curvas de isovalores do desvio-padrão do fator para conversão de altitudes geométricas em normais

Avaliação do modelo

A metodologia utilizada leva à existência de resíduos em todas as estações utilizadas, os quais são considerados na avaliação da solução resultante de cada iteração, repetindo-se o processo até que não ocorram novas rejeições pelo critério mencionado (ε>3σω). O histograma mostrado a seguir representa a distribuição de frequências dos resíduos finais, permitindo constatar que 85,3% das estações têm resíduos entre ±10cm, e 95,2% entre ±18cm. As barras em azul representam os resíduos nas estações utilizadas no cálculo do hgeoHNOR2020 e, em vermelho, aqueles referentes às estações rejeitadas. Os pontos em vermelho representam o número de estações rejeitadas.

Considerando apenas as 1297 estações SAT-RN utilizadas no cálculo final, a raiz do erro quadrático médio (REQM) dos resíduos é 6,5cm. Pode-se observar, no cartograma a seguir, a relativa homogeneidade na distribuição espacial destas estações, segundo as diferentes faixas de resíduos – à exceção do extremo noroeste do País, onde predominam resíduos negativos nos estados de Roraima e Amazonas, e positivos em Rondônia e oeste do Mato Grosso. Considerando apenas as 592 estações utilizadas em 2015 para avaliação do MAPGEO2015 com REQM de 17cm – das quais três pertencem ao conjunto de estações rejeitadas no cálculo do hgeoHNOR2020 –, a REQM dos resíduos do hgeoHNOR2020 é de 10,2cm, confirmando a melhor aderência dos resultados do hgeoHNOR2020 às altitudes da Rede Altimétrica do SGB.

A avaliação da precisão relativa global do hgeoHNOR2020 foi realizada mediante o cálculo da diferença de resíduos em cada par de estações com distâncias até 50km. Estes resultados individuais foram agrupados a cada 1km, e a diferença média em cada agrupamento foi utilizada para a elaboração do gráfico mostrado a seguir.

Observa-se que, para distâncias de 6km, por exemplo, a precisão relativa do hgeoHNOR2020 é 1,0cm/km e, do MAPGEO2015, 1,4cm/km e 1,06cm/km, considerando altitudes físicas de 2011 e 2018, respectivamente. As linhas em azul representam a variação, entre hgeoHNOR2020 e MAPGEO2015 (com altitudes normais), das diferenças entre os resíduos em cada par de estações – a variação é de -0,4cm, para o mesmo exemplo de 6km. Observa-se que a melhoria relativa em relação ao MAPGEO2015 é mais pronunciada para as menores distâncias. Observa-se também que, contrariamente aos resultados absolutos do MAPGEO2015 mencionados anteriormente, o desempenho relativo do MAPGEO2015 sofre, em geral, um significativo aprimoramento com a utilização das altitudes normais de 2018.


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Em 5 de agosto de 2021, o IBGE lançará o novo modelo hgeoHNOR2020, que propicia maior acurácia na conversão entre altitudes geométricas (GNSS) e altitudes normais (RRNN do SGB). Em decorrência disso, a página de cálculo de alturas geoidais com o MAPGEO2015 (“MAPGEO2015 online”) não mais estará disponível.

Através do portal MapGeo On-Line pode ser obtida a ondulação geoidal (N) necessária à conversão de altitudes elipsoidais, obtidas com os Sistemas de Navegação Global por Satélite (GNSS), em altitudes ortométricas, ou seja, altitudes relacionadas à superfície equipotencial do campo de gravidade. É com este objetivo que o MAPGEO2015, assim como os modelos anteriores (MAPGEO2010, MAPGEO2004, MAPGEO92), foi concebido e produzido conjuntamente pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), através da Coordenação de Geodésia (CGED), e pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo (EPUSP). Os usuários podem obter a ondulação geoidal em um ponto ou conjunto de pontos, cujas coordenadas refiram-se ao SIRGAS2000, dentro do território brasileiro.

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